WypórDlaczego lód pływa, stalowy statek się unosi, a złoto tonie?

Skąd się bierze wypór?

Ciecz naciska na zanurzone ciało ze wszystkich stron, a im głębiej, tym mocniej: ciśnienie rośnie z głębokością h jak p = ρ_c·g·h. Na dolną ścianę kostki ciecz naciska więc mocniej niż na górną. Różnica tych nacisków to siła skierowana w górę, czyli wypór:

F_w=ρ_c · g · V_zan

ρ_c to gęstość cieczy, g = 9,81 m/s² to przyspieszenie ziemskie, a V_zan to objętość zanurzonej części ciała. Iloczyn ρ_c·V_zan to masa cieczy, którą ciało wypchnęło ze swojego miejsca. Prawo Archimedesa: wypór jest równy ciężarowi cieczy wypartej przez ciało.

Pływa czy tonie?

Ciężar ciała to Q = m·g = ρ_ciała·g·V. Jeśli ciało jest rzadsze od cieczy, wypływa i zanurza się tylko na tyle, żeby wypór zrównał się z ciężarem. Wtedy

V_zanV=ρ_ciałaρ_cieczy

Sosna (500 kg/m³) zanurza się w wodzie w połowie, lód (917 kg/m³) w 91,7 %. Gdy gęstości są równe, ciało unosi się w dowolnym miejscu cieczy. Gdy ciało jest gęstsze od cieczy, tonie i leży na dnie, a dno podpiera je siłą N = Q − F_w. Poziom cieczy w zbiorniku rośnie o objętość wypartą podzieloną przez pole dna: Δh = V_zan / S.

Siłomierz i naczynie z przelewem

F=Q − F_w

Zanurzone ciało „traci” na ciężarze dokładnie tyle, ile waży ciecz, która wylała się z naczynia z przelewem do zlewki. Według rzymskiego architekta Witruwiusza Archimedes wpadł na ten pomysł w kąpieli, gdy król Hieron II kazał mu sprawdzić, czy nowa korona jest z czystego złota. Korona ze srebrną domieszką ma większą objętość niż złoto o tej samej masie, więc wypiera więcej wody. Podobno wybiegł wtedy na ulicę z okrzykiem „Eureka!” („Znalazłem!”).

Dlaczego stalowy statek pływa?

Stal jest prawie 8 razy gęstsza od wody, ale kadłub jest pusty w środku. Liczy się średnia gęstość całego statku: masa kadłuba z ładunkiem podzielona przez objętość, jaką zajmuje kadłub razem z powietrzem w środku:

ρ_śr=m_kadłuba + m_ładunkuV_kadłuba

Dopóki jest mniejsza od gęstości wody, statek pływa. Gdy woda przeleje się przez burtę, wypiera powietrze z kadłuba, średnia gęstość rośnie ponad gęstość wody i statek idzie na dno. Linia Plimsolla na burcie pokazuje, jak głęboko wolno zanurzyć statek, żeby zostało bezpieczne zapasowe „pływanie” na fale.

Nurek Kartezjusza

W odwróconej fiolce jest pęcherzyk powietrza. Gdy ściskasz butelkę, rośnie ciśnienie wody, a powietrze w fiolce się spręża (w stałej temperaturze):

p₁ · V₁=p₂ · V₂

Mniejszy pęcherzyk wypiera mniej wody, więc wypór maleje i nurek tonie. Gdy puszczasz, powietrze się rozpręża i nurek wypływa. Głębiej ciśnienie jest większe (p = p₀ + Δp + ρ·g·h), dlatego równowaga jest chwiejna: nurek, który zaczął opadać, opada coraz szybciej.

Uproszczenia modelu. Ruch jest jednowymiarowy: ciała poruszają się tylko w pionie i nie obracają się. Opór cieczy i tłumienie kołysania opisujemy prostym wzorem, a w oleju i glicerynie ruch jest mocniej tłumiony. Pomijamy napięcie powierzchniowe, ściśliwość cieczy i zmiany temperatury. Gęstości są typowe (sosna ma od ok. 400 do 600 kg/m³, styropian 15–35 kg/m³). Przyjmujemy g = 9,81 m/s². Zbiornik ma dno 50 × 16 cm, więc 1 l wypartej cieczy podnosi poziom o 1,25 cm.