Eksperyment · dynamika nieliniowa
Dwa pręty, dwie kule i ani grama losowości. A jednak już po kilku sekundach ruchu nie da się przewidzieć. Chwyć kulę, puść ją i patrz, jak z prostych równań rodzi się chaos.
Wypuść N kopii wahadła. Kąt dolnego ramienia każdej kolejnej kopii jest większy o maleńkie ε. Na początku ruszają się razem, potem nagle się rozjeżdżają.
δ to odległość kopii w przestrzeni fazowej: δ = √(Δθ₁² + Δθ₂² + (Δω₁² + Δω₂²)/Ω²), gdzie Ω = √(g/l̄). Linia przerywana to dopasowana wykładnicza δ₀·eλt.
Każdy punkt to stan ramienia: kąt i prędkość kątowa. Ruch regularny rysuje zamknięte pętle. Chaos zamazuje całą dostępną przestrzeń.
Ostatnie 20 s ruchu. Kąt zawinięty do przedziału od −π do π. W efekcie motyla kolorowe punkty to kopie wahadła.
Każdy piksel to osobne podwójne wahadło puszczone ze spoczynku z kątów (θ1, θ2). Kolor mówi, po jakim czasie dolne ramię pierwszy raz przejdzie przez górę.
Kliknij piksel (albo wybierz go strzałkami i naciśnij Enter), a wahadło ruszy z tego miejsca.
Mapa policzy się, gdy tu przewiniesz.
W efekcie motyla ustaw N = 2 i ε = 10⁻⁶ rad (0,000001 rad). Wypuść podwójne wahadła i zmierz, po ilu sekundach się rozjadą.
Znajdź na mapie chaosu spokojny, ciemny obszar (tam dolne ramię się nie przekręca) i kliknij go, żeby uruchomić wahadło.
Ustaw kąty samodzielnie (przeciągnij kule, użyj suwaków albo mapy) tak, by dolne ramię przekręciło się przez górę 5 razy w ciągu pierwszych 20 s.
Przełącz na pojedyncze wahadło i wypuść kopie. Sprawdź, że przez 30 s trzymają się razem (δ < 0,1).
Postęp zapisuje się w tej przeglądarce.
Podwójne wahadło to zwykłe wahadło, na którego końcu wisi drugie. Ruch opisują dwa równania bez żadnej losowości. Jeśli dokładnie znasz kąty i prędkości na starcie, przyszłość jest wyznaczona jednoznacznie. Kłopot tkwi w słowie „dokładnie”: najmniejszy błąd rośnie wykładniczo i po kilkunastu sekundach zjada całą prognozę. To właśnie chaos deterministyczny.
Kąty θ1, θ2 mierzymy od pionu. ω = dθ/dt to prędkość kątowa, a α = dω/dt to przyspieszenie kątowe. Energia kinetyczna i potencjalna:
Z lagranżjanu L = T − V i równań Eulera–Lagrange’a wychodzą dwa sprzężone równania (Δ = θ1 − θ2):
Program rozwiązuje je metodą Rungego–Kutty 4. rzędu (RK4) ze stałym krokiem h, zwykle 1 ms. Całkowita energia E = T + V powinna być stała. Odczyt „dryf” pokazuje, o ile procent zmieniła się przez błędy obliczeń. Zwykle to milionowe części procenta. Energię liczymy od położenia spoczynku, więc wahadło wiszące nieruchomo ma E = 0.
W ruchu chaotycznym mała różnica δ0 między dwoma wahadłami rośnie średnio wykładniczo:
Na wykresie w skali logarytmicznej wzrost wykładniczy to linia prosta, a jej nachylenie to λ. Logarytm działa bezlitośnie: pomiar 1000 razy dokładniejszy wydłuża prognozę tylko o ln 1000 / λ ≈ 6,9 / λ. Przy λ ≈ 1 s⁻¹ to niecałe 7 sekund.
W 1963 r. meteorolog Edward Lorenz z MIT opublikował pracę „Deterministic Nonperiodic Flow”. Pokazał w niej, że bardzo prosty model konwekcji w atmosferze, złożony z trzech równań, zachowuje się chaotycznie. Wniosek był zaskakujący: pogody nie da się przewidzieć dowolnie daleko nawet idealnym modelem, bo atmosfery nigdy nie zmierzymy idealnie. W 1972 r. Lorenz zatytułował wykład pytaniem, czy trzepot skrzydeł motyla w Brazylii może wywołać tornado w Teksasie. Stąd nazwa efekt motyla.
Dziś prognozy są dobre mniej więcej na tydzień, a granicę przewidywalności pogody szacuje się na około dwa tygodnie. Dlatego ośrodki meteorologiczne liczą prognozy zespołowe. Europejskie Centrum Prognoz Średnioterminowych (ECMWF) liczy za każdym razem 51 wersji prognozy z lekko zmienionymi warunkami początkowymi. Robi więc dokładnie to, co nasz przycisk „Efekt motyla”. Gdy kopie się rozjeżdżają, prognoza traci pewność.
Pojedyncze wahadło spełnia równanie α = −(g/l) sin θ. Dla małych wychyleń jego okres wynosi T ≈ 2π√l/g. Jego ruch jest regularny: kopie oddalają się od siebie najwyżej liniowo, bo okres nieco zależy od amplitudy. Chaos w takim układzie jest niemożliwy. Według twierdzenia Poincarégo–Bendixsona potrzeba do niego co najmniej trzech wymiarów przestrzeni fazowej. Pojedyncze wahadło ma dwa (θ, ω), a podwójne cztery.
Przy małych wychyleniach także podwójne wahadło nie jest chaotyczne. Jego ruch to suma dwóch drgań własnych, czyli modów. Dla m1 = m2 i l1 = l2 = l:
Presety „Mod zgodny” i „Mod przeciwny” ustawiają wahadło dokładnie w tych kształtach. Obliczamy je dla bieżących mas i długości.
W środku mapy energia jest za mała, by dolne ramię przeszło przez górę. Dzieje się tak, gdy (m1 + m2)l1 cos θ1 + m2l2 cos θ2 > (m1 + m2)l1 − m2l2. Przy równych masach i długościach warunek ma postać 2 cos θ1 + cos θ2 > 1. Na zewnątrz tego obszaru kolory tworzą strukturę fraktalną: im dłuższy czas symulacji i gęstsza siatka, tym więcej drobnych szczegółów. Mapa jest symetryczna względem środka, bo lustrzane odbicie wahadła porusza się jak lustrzane odbicie. Dlatego liczymy tylko połowę pikseli.