Orbita to nie „wysoko”, tylko szybko: trzeba lecieć bokiem tak prędko, żeby Ziemia cały czas uciekała spod spadającej rakiety. Wystartuj z obracającej się Ziemi, przetrwaj Max Q, odrzuć stopień i wejdź na orbitę — a potem przeskocz na orbitę geostacjonarną.
Wyzwania
Wykonaj je w symulatorze — zaliczą się same.
Dziennik lotu
Najważniejsze chwile misji (czas misji od zapłonu).
- Czekamy na zapłon…
Wzór Ciołkowskiego — ile prędkości daje paliwo?
Rakieta nie odpycha się od powietrza: wyrzuca gazy do tyłu, więc sama leci do przodu (zasada zachowania pędu). Przyrost prędkości Δv zależy tylko od prędkości wylotu gazów ve i od tego, ile razy rakieta z paliwem jest cięższa od pustej.
Dlaczego rakiety mają stopnie?
Pusty zbiornik to martwy balast. Gdy stopień się wypali, rakieta go odrzuca i dalej rozpędza już tylko to, co jeszcze potrzebne. Porównaj rakiety o tej samej masie startowej, tym samym paliwie (ve z kalkulatora obok) i tym samym udziale konstrukcji.
Stopnie dobrane optymalnie (każdy ma ten sam stosunek mas). Złota kreska: ok. 9,4 km/s — tyle trzeba na niską orbitę razem ze stratami na grawitację i opór.
Prędkości kosmiczne
Im wyżej krąży satelita, tym wolniej leci i tym dłużej trwa jedno okrążenie. Liczby poniżej wynikają z tego samego modelu co symulator.
Orbita kołowa tuż nad powierzchnią (gdyby nie było powietrza): v = √(GM/R).
Prędkość ucieczki z powierzchni: energia ruchu równa energii wiązania. To √2 razy więcej niż I prędkość.
Tyle trzeba nadać przy Ziemi, żeby uciec z Układu Słonecznego, wykorzystując ruch Ziemi wokół Słońca.
Trzecie prawo Keplera: T² ∝ r³. Orbita geostacjonarna trwa tyle, ile jeden obrót Ziemi względem gwiazd (23 h 56 min), więc satelita „wisi” nad jednym punktem równika.
Jak to działa?
Kilka wzorów wystarczy, żeby zrozumieć każdy lot w symulatorze.
1. Orbita to ciągłe spadanie
Grawitacja słabnie z kwadratem odległości od środka Ziemi. Rakieta na orbicie cały czas spada, ale leci bokiem tak szybko, że powierzchnia „zakrzywia się” pod nią w tym samym tempie.
g(r) = GMr² vkoł = √GMr T = 2π √r³GMGM = 3,986 · 10¹⁴ m³/s², R = 6 371 km. Na 400 km: v ≈ 7,67 km/s, T ≈ 92,4 min.
2. Energia decyduje o kształcie orbity
Z położenia i prędkości symulator w każdej chwili liczy elipsę (stożkową), po której leciałaby rakieta z wyłączonym silnikiem. Stąd biorą się apocentrum i perycentrum.
v² = GM (2r − 1a) ε = v²2 − GMrε < 0 — orbita zamknięta (elipsa), ε ≥ 0 — ucieczka. Stąd prędkość ucieczki vuc = √2 · vkoł.
3. Silnik i wzór Ciołkowskiego
Ciąg to strumień masy razy prędkość wylotu gazów. Impuls właściwy Isp mówi, jak „oszczędne” jest paliwo; w próżni silnik ma większy Isp niż przy ziemi.
F = ṁ · ve ve = Isp · g0 Δv = ve ln m0mkRakieta w symulatorze: I stopień 7,6 MN, Isp 282 s (przy ziemi) / 311 s (próżnia); II stopień 0,98 MN, 345 s.
4. Atmosfera, opór i Max Q
Powietrze rzednie wykładniczo. Opór rośnie z kwadratem prędkości, więc najgorszy moment przychodzi w połowie drogi: rakieta jest już szybka, a powietrze jeszcze gęste — to Max Q, szczyt ciśnienia dynamicznego.
ρ = ρ0 e−h/H q = ½ ρ v² FD = q · CD · Aρ0 = 1,225 kg/m³, H = 8,5 km. Dlatego rakieta leci najpierw pionowo, a potem wykonuje zakręt grawitacyjny: lekko się pochyla i pozwala grawitacji stopniowo kłaść tor lotu, zawsze nosem wzdłuż prędkości.
5. Transfer Hohmanna
Najtańszy sposób przejścia między orbitami kołowymi: zapłon prograde wydłuża orbitę w elipsę, której apocentrum sięga orbity docelowej. Po pół obiegu drugi zapłon „zaokrągla” orbitę.
Δv1 = √GMr1 (√2r2r1+r2 − 1) Δv2 = √GMr2 (1 − √2r1r1+r2)Z 400 km na GEO: Δv1 ≈ 2,40 km/s, Δv2 ≈ 1,46 km/s, przelot ≈ 5 h 17 min.
6. Przeciążenie
Przeciążenie to przyspieszenie, które czuje załoga: od ciągu i oporu, bez grawitacji (w swobodnym spadku — także na orbicie — wynosi 0 g). Program lotu dławi silnik, żeby nie przekroczyć 4 g.
n = |Fciąg + FD|m · g0 g0 = 9,806 65 m/s²Na stanowisku startowym ziemia podpiera rakietę, dlatego przeciążenie wynosi wtedy 1 g.
Uproszczenia modelu
- Lot w dwóch wymiarach, w płaszczyźnie równika; Ziemia to jednorodna kula o promieniu 6 371 km, obracająca się raz na dobę gwiazdową (start z równika na wschód).
- Atmosfera wykładnicza bez wiatru, stały współczynnik oporu; powyżej 140 km opór pomijamy, więc orbity nie opadają.
- Rakieta jest fikcyjna (parametry zbliżone do współczesnych rakiet średniej klasy); silnik II stopnia można włączać dowolnie wiele razy, a ciąg dławić od 0 do 100 %.
- Program lotu to prosta automatyka (pion, odchylenie o 8°, zakręt grawitacyjny, potem utrzymywanie wysokości ok. 190 km), a nie prawdziwe naprowadzanie rakiety.
- Wysokość GEO (35 786 km) liczy się naprawdę od równika (promień 6 378 km); na naszej kulistej Ziemi okres wychodzi o ok. 20 s krótszy niż doba gwiazdowa.
Czy wiesz, że…?
Na wysokości 400 km przyciąganie Ziemi ma jeszcze prawie 90 % siły z powierzchni. Astronauci unoszą się, bo razem ze stacją nieustannie spadają — tylko ciągle „chybiają” Ziemię.
Punkt na równiku pędzi na wschód z prędkością ok. 465 m/s. Dlatego rakiety startują na wschód, a europejski kosmodrom leży w Kourou w Gujanie Francuskiej, zaledwie 5° od równika.
Konstanty Ciołkowski — syn Polaka — ogłosił swój wzór w 1903 roku, a Walter Hohmann opisał transfer między orbitami w 1925 roku. Pierwsza rakieta sięgnęła kosmosu dopiero w 1944 roku.