Eksperyment
Strunafala stojąca i harmoniczne
Szarpnij strunę gitary, skróć ją na progu, dotknij lekko w połowie. Zobacz, że jeden dźwięk to wiele tonów naraz — a potem rozkołysz strunę wibratorem i porównaj ją z piszczałką.
Kliknij próg na gryfie, żeby skrócić strunę. Każdy próg podnosi dźwięk o półton.
Wyzwania
0 / 4Czy wiesz, że…?
Fala biegnie po strunie e¹ gitary z prędkością ok. 430 m/s — szybciej niż dźwięk w powietrzu (343 m/s). Wynika to z samego wzoru v = 2L·f₁ = 2 · 0,648 m · 329,6 Hz.
Sześć strun gitary elektrycznej (zestaw 0,010–0,046″) ciągnie gryf łączną siłą ok. 460 N — jakby wisiał na nim ciężar 47 kg. W fortepianie koncertowym suma naciągów strun jest rzędu 20 ton, dlatego ma on żeliwną ramę.
Klarnet działa w przybliżeniu jak piszczałka zamknięta z jednej strony. Dlatego w jego niskich dźwiękach parzyste harmoniczne są słabe, a po „przedęciu” skacze o duodecymę (3·f), a nie o oktawę jak flet.
Jak to działa?
1 Fala tam i z powrotem
Po szarpnięciu trójkątny załom rozdziela się na dwie fale biegnące w przeciwne strony. Odbijają się od progu i mostka, a ich suma daje drgania struny.
Są kształty, które nie wędrują, tylko rosną i maleją w miejscu — to fale stojące, czyli mody drgań. Punkty, które stoją w miejscu, to węzły, a miejsca największych drgań — strzałki.
2 Jakie tony może wydać struna?
Na długości L musi się zmieścić całkowita liczba połówek fali: λn = 2L/n. Prędkość fali zależy od napięcia T i masy metra struny μ:
v = √Tμfn = n · v2L = n2L√TμMocniej naciągnięta — wyżej. Grubsza (większe μ) — niżej. Krótsza — wyżej. Ton n = 1 to ton podstawowy f₁, a 2f₁, 3f₁… to harmoniczne.
3 Progi i półtony
Progi gitary rozmieszczono tak, że każdy skraca drgającą część struny i podnosi dźwięk o półton, czyli mnoży częstotliwość przez 21/12 ≈ 1,0595:
Lk = L02k/12fk = f0 · 2k/12Po 12 progach częstotliwość rośnie dwa razy (oktawa), więc 12. próg leży dokładnie w połowie struny. Dlatego progi są coraz gęściej.
4 Barwa i miejsce szarpnięcia
Szarpnięcie w punkcie x₀ pobudza mod n z amplitudą
An ∝ sin(nπx₀/L)n2Jeśli x₀ wypada w węźle modu n (np. x₀ = L/3 dla n = 3), ten mod milczy — to prawo Younga. Blisko mostka wyższe harmoniczne są względnie silniejsze i dźwięk jest jaśniejszy, metaliczny. W środku — miękki i okrągły.
5 Flażolet
Lekkie dotknięcie w odległości L/k od końca tłumi każdy mod, który w tym miejscu się porusza. Zostają tylko mody z węzłem w tym punkcie: n = k, 2k, 3k…
Słychać wtedy ton k·f₁: przy ½ — oktawę, przy ⅓ — oktawę i kwintę (duodecymę), przy ¼ — dwie oktawy. Na gitarze to okolice 12., 7. i 5. progu.
6 Rezonans i fala stojąca
W trybie „Fala stojąca” wibrator porusza końcem struny z częstotliwością f. Gdy f = n · f₁, każda odbita fala trafia w takt kolejnego pchnięcia. Drgania rosną i powstaje czysta fala stojąca: n strzałek i n + 1 węzłów, co pół długości fali.
Poza rezonansem fale częściowo się znoszą — ruch jest mały i nieregularny. Napięcie daje ciężarek na bloczku: T = m·g (doświadczenie Meldego).
7 Piszczałki
W rurze drga powietrze. Na otwartym końcu ciśnienie jest równe atmosferycznemu, więc jest tam węzeł ciśnienia. Przy zamkniętym dnie jest strzałka ciśnienia.
otwarta: fn = n · v2L, n = 1, 2, 3…zamknięta: fn = n · v4L, n = 1, 3, 5…Piszczałka zamknięta gra więc o oktawę niżej i ma tylko nieparzyste harmoniczne. Prędkość dźwięku w powietrzu w 20 °C: v ≈ 343 m/s.
⚙ Jak liczy symulacja i co uprościliśmy
Struna jest podzielona na 240 odcinków. Program rozwiązuje równanie falowe metodą różnic skończonych, z lekkim tłumieniem i nieruchomymi końcami:
∂2y∂t2 = Tμ · ∂2y∂x2yit+1 = 2yit − yit−1 + r2(yi+1t − 2yit + yi−1t)Schemat jest stabilny tylko wtedy, gdy r = v·Δt/Δx ≤ 1 (warunek Couranta–Friedrichsa–Lewy’ego). Dla większego r błędy rosną lawinowo, więc program dzieli każdą klatkę na tyle kroków, by r ≈ 0,9. Dźwięk powstaje osobno: z sumy tonów n·f₁ o amplitudach z wzoru w punkcie 4.
Uproszczenia: ruch jest pokazany w zwolnionym tempie, a wychylenie — powiększone. Tłumienie w animacji jest dużo silniejsze niż w prawdziwej strunie, żeby wszystko działo się w kilka sekund. Pomijamy sztywność struny (prawdziwe harmoniczne są minimalnie wyższe niż n·f₁), rozciąganie się struny przy wychyleniu i poprawkę wylotową piszczałki. Piszczałkę pokazujemy w stanie ustalonym.