Analiza matematyczna
Pochodna i całka matematyka zmiany i pola
Pochodna mówi, jak szybko coś się zmienia: to nachylenie stycznej, prędkość samochodu, tempo wzrostu. Całka sumuje drobne kawałki w całość: pole pod wykresem, przebytą drogę, a nawet liczbę π. Newton i Leibniz odkryli, że to dwie strony tej samej monety.
Funkcje
2x^2 − 3, sin(x)/x, |x − 1|
Parametry
Galeria
Pokaż
Jak czytać wykres?
Funkcja to przepis: każdej liczbie x przypisuje jedną liczbę f(x). Wykres to zbiór wszystkich punktów (x; f(x)).
Miejsce zerowe to x, dla którego f(x) = 0. Maksimum lokalne to „szczyt górki”, a minimum — „dno dołka”. W obu styczna jest pozioma, czyli f′(x) = 0 (o ile pochodna istnieje; |x| ma minimum w ostrym „dziobie”).
Asymptota to prosta, do której wykres zbliża się coraz bardziej. Hiperbola y = 1/x ma dwie: pionową x = 0 i poziomą y = 0. Przez asymptotę pionową wykresu nie łączymy.
Punkty szczególne program szuka numerycznie (zmiana znaku i złoty podział) w widocznym fragmencie osi.
Funkcja
Iloraz różnicowy
Droga, prędkość, przyspieszenie
Niech x to czas t w sekundach, a f(t) położenie auta w metrach.
Reguły różniczkowania
| stała, stały czynnik | (c)′ = 0, (c·f)′ = c·f′ |
| potęga | (xn)′ = nxn−1 |
| suma | (f ± g)′ = f′ ± g′ |
| sinus | (sin x)′ = cos x |
| cosinus | (cos x)′ = −sin x |
| funkcja wykładnicza | (ex)′ = ex, (ax)′ = ax ln a |
| logarytm | (ln x)′ = 1x |
| iloczyn | (f g)′ = f′g + f g′ |
| iloraz | (fg)′ = f′g − f g′g2 |
| łańcuch (funkcja złożona) | (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) |
Podświetlone reguły zostały użyte do obliczenia pochodnej bieżącej funkcji.
Co to jest pochodna?
Weź dwa punkty wykresu: x i x + h. Prosta przez nie to sieczna, a jej nachylenie to iloraz różnicowy — „o ile wzrosło y na jednostkę x”.
ΔyΔx = f(x+h) − f(x)h
Gdy h maleje do zera, drugi punkt „wjeżdża” w pierwszy, a sieczna obraca się aż do stycznej. Jej nachylenie to pochodna f′(x). Leibniz zapisywał ją jako dydx — iloraz „nieskończenie małych” przyrostów.
Gdy f′ > 0, funkcja rośnie (styczna zielona), gdy f′ < 0 — maleje (czerwona). Tam, gdzie f′ = 0, leży punkt stacjonarny: szczyt, dołek albo chwilowe „wypłaszczenie”.
Pochodną liczymy symbolicznie (regułami z tabeli) z lekkim upraszczaniem; gdy się nie da, program przechodzi na ilorazy numeryczne z bardzo małym h.
Funkcja
Metoda
Błąd a liczba przedziałów
Skala log-log: prosta o nachyleniu −p oznacza błąd ∝ 1/np.
Podstawowe twierdzenie analizy
F(x) = ∫xaf(t) dt — pole zgromadzone od a do x.
Co to jest całka?
Pole pod krzywą dzielimy na n wąskich pasków i sumujemy ich pola. Im węższe paski, tym lepsze przybliżenie; całka oznaczona to granica tych sum:
∫baf(x) dx = limn→∞ Σ f(xi) Δx
Znak ∫ to wydłużone „S” od łacińskiego summa. Pole pod osią x liczy się ze znakiem minus (różowe).
Rząd metody: prostokąty lewe i prawe mają błąd ∝ 1/n, środkowe i trapezy ∝ 1/n², Simpson (parabole przez trzy punkty) ∝ 1/n⁴. Podwojenie n zmniejsza błąd odpowiednio 2, 4 i 16 razy.
Twierdzenie Newtona–Leibniza: jeśli F′ = f, to ∫baf dx = F(b) − F(a). Całkowanie odwraca różniczkowanie.
Wartość dokładną liczymy z funkcji pierwotnej (gdy program umie ją znaleźć), a w innym razie adaptacyjną metodą Simpsona z dokładnością ok. 10⁻¹². Całek niewłaściwych (np. przez asymptotę) tu nie liczymy.
Metoda wyczerpywania
Archimedes zaczął od sześciokątów i podwajał liczbę boków aż do 96, dostając 31071 < π < 317. Obwody liczymy jego rekurencją (średnia harmoniczna i geometryczna), bez użycia π. To przodek całki: kształt krzywy przybliżamy prostymi kawałkami. Więcej sposobów: Liczba π.
Pole ćwiartki koła
∫10√1 − x2 dx = π4
Arcus tangens i szereg
∫10dx1 + x2 = arctg 1 = π4
Rozwijamy 1/(1 + x²) = 1 − x² + x⁴ − … (szereg geometryczny) i całkujemy wyraz po wyrazie:
1 − 13 + 15 − 17 + … = π4
Dwumian Newtona i półkole
π = 24 (∫¼0√x − x2 dx + √332)
Jak to zrobił Newton?
Krzywa y = √x − x2 to półokrąg o środku (½; 0) i promieniu ½. Pole pod nią od 0 do ¼ to wycinek 60° (pole π/24) minus trójkąt o polu √3/32 — stąd wzór powyżej.
Newton rozwinął √1 − x = 1 − ½x − ⅛x² − … swoim uogólnionym wzorem dwumiennym, pomnożył przez √x i scałkował każdy wyraz osobno. Kolejne wyrazy maleją mniej więcej 4 razy, więc każdy daje ok. 0,6 cyfry.
Zimą 1665/66, gdy Cambridge zamknięto z powodu zarazy, młody Newton uzyskał tak około 15 cyfr π. Po latach pisał, że wstydzi się przyznać, do ilu cyfr doprowadził te rachunki, bo nie miał wtedy innego zajęcia.
Całka Gaussa
∫∞−∞e−x² dx = √π
Sztuczka ze współrzędnymi biegunowymi
Oznacz szukaną całkę przez I. Wtedy I² = ∬ e−(x²+y²) dx dy to objętość pod dwuwymiarowym „dzwonem”. Kroimy ją na cienkie pierścienie o promieniu r: I² = ∫∞0e−r²·2πr dr = π, więc I = √π.
Funkcja e−x² nie ma pierwotnej wyrażonej przez funkcje elementarne, a mimo to pole pod całą krzywą znamy dokładnie. Metoda trapezów jest tu niezwykle skuteczna, bo funkcja jest gładka i szybko znika na krańcach.
Licznik cyfr
Ile poprawnych cyfr π daje każda metoda przy bieżących ustawieniach i ile to kosztuje pracy (wyrazów, próbek lub podwojeń).
| metoda | praca | cyfry |
|---|
Oś pozioma: praca w skali logarytmicznej. Liczby double mają ok. 16 cyfr, więc to nasz sufit.
Najedź na krok (albo przejdź do niego klawiszem Tab), aby podświetlić na wykresie to, czego dotyczy.
Schemat badania funkcji
Tak bada się funkcję na maturze rozszerzonej i na studiach: dziedzina → miejsca zerowe i znak → parzystość → granice i asymptoty → pierwsza pochodna (monotoniczność, ekstrema) → druga pochodna (wypukłość, punkty przegięcia) → tabela → wykres.
Ekstremum jest tam, gdzie f′ zmienia znak, a nie wszędzie, gdzie f′ = 0 (np. x³ w zerze). Asymptota ukośna y = ax + b: a = lim f(x)/x, b = lim (f(x) − ax).
Wyniki dokładne liczymy na ułamkach i pierwiastkach (bez zaokrągleń). Gdy metoda dokładna nie działa, program mówi o tym i podaje przybliżenie z „≈”.
Znaki: = < > ≤ ≥ ≠ (albo <=, >=, !=). Przedział [od; do] służy do szukania rozwiązań numerycznych i okresowych, np. od 0 do 2π. Nawias kwadratowy [ ] oznacza przedział domknięty (w wielu podręcznikach ⟨ ⟩).
MatematykaNewton, Leibniz i nieskończenie małe
Dwóch odkrywców
Isaac Newton w latach 1665–1666 rozwinął „metodę fluksji”: myślał o wielkościach płynących w czasie i o ich prędkościach zmiany. Niezależnie Gottfried Wilhelm Leibniz około 1675 roku stworzył rachunek różniczkowy i całkowy z notacją, której używamy do dziś, i pierwszy go opublikował (1684 i 1686). Wybuchł zażarty spór o pierwszeństwo, dziś uznajemy obu za twórców analizy.
Notacja dy/dx i ∫
Leibniz pisał dy/dx — iloraz bardzo małych przyrostów dy i dx — oraz ∫ y dx — sumę pól nieskończenie cienkich pasków o szerokości dx. Newton stawiał kropkę nad literą (ẋ), a zapis f′(x) spopularyzował Lagrange.
Co to jest granica?
Granica to wartość, do której coś zbliża się dowolnie blisko. Iloraz [f(x+h) − f(x)]/h dla h = 0 nie ma sensu (0/0), ale dla coraz mniejszych h jego wartości układają się coraz bliżej jednej liczby — to właśnie pochodna. Precyzyjną definicję („dla każdego ε istnieje δ”) podali dopiero w XIX wieku Cauchy i Weierstrass.
Uproszczenia na tej stronie
Obliczenia idą na liczbach zmiennoprzecinkowych podwójnej precyzji (ok. 16 cyfr), dlatego dla bardzo małych h iloraz różnicowy zaczyna drżeć od błędów zaokrągleń. Punkty szczególne i nieciągłości wykrywamy numerycznie w widocznym fragmencie wykresu. Parser rozumie tylko podany zestaw funkcji, a całkowanie symboliczne obejmuje proste przypadki.
Czy wiesz, że…?
- Znak ∫ pojawił się po raz pierwszy w notatkach Leibniza z 29 października 1675 roku. To wydłużona litera „s” od łacińskiego summa.
- Szereg 1 − 1/3 + 1/5 − … znał już indyjski matematyk Madhawa z Sangamagramy około 1400 roku, ponad 250 lat przed Leibnizem i Gregorym.
- Raport Royal Society z 1712 roku, który przyznawał Newtonowi pierwszeństwo w sporze z Leibnizem, napisał w dużej mierze sam Newton, ówczesny prezes Towarzystwa.
Wyzwania
Wyzwania sprawdzają się same. Postęp zapisuje się w tej przeglądarce.