Ciągi · złota proporcja
Zacznij od 1 i 1. Każda następna liczba to suma dwóch poprzednich. Z tej jednej reguły wyrasta złota liczba φ ≈ 1,618, spirala z kwadratów i wzór, według którego słonecznik układa nasiona.
F₁ = 1
←→ kąt / krok (Shift 0,01°)+− wyrazy / nasionaSpacja animacja
Rysunki wygenerowane z tego samego złotego kąta — na powierzchni walca, stożka i w pąkach, które powtarzają kształt całości.
Ta sama reguła, inny start: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76… To liczby Lucasa. Też zbliżają się do φ, a ich wzór jest jeszcze prostszy:
Na przykład F10 = 55 = 5 · 11 = F5·L5.
Prostokąt o bokach w proporcji 1 : φ. Gdy odetniesz od niego kwadrat, zostaje mniejszy prostokąt o tej samej proporcji, bo φ − 1 = 1/φ. Kwadraty Fibonacciego z trybu „Spirala” coraz lepiej go przybliżają.
W foremnym pięciokącie przekątna / bok = φ. Przekątne tworzą pentagram, a każda z nich jest dzielona przez pozostałe w złotej proporcji. Kąty 36° i 72° w jego trójkątach to też „złote” trójkąty.
W rozwinięciu na ułamek łańcuchowy φ ma same jedynki — najmniejsze możliwe wyrazy. Dlatego ułamki Fn+1/Fn przybliżają ją najwolniej ze wszystkich liczb niewymiernych (twierdzenie Hurwitza). Właśnie przez to złoty kąt nigdy nie „trafia” w stary kierunek i nasiona nie tworzą szprych.
Liczby spiral w słonecznikach, szyszkach i ananasach to zwykle kolejne liczby Fibonacciego, a złoty kąt pojawia się u wielu roślin, bo nowe zawiązki rosną tam, gdzie jest najwięcej miejsca.
Nie jest to jednak prawo bez wyjątków: w dużym obywatelskim badaniu z 2016 r. (Swinton i Ochu) mniej więcej co piąty słonecznik miał spirale niezgodne z ciągiem Fibonacciego albo nieregularne.
Muszla łodzika to piękna spirala logarytmiczna, ale nie złota. Złota spirala rośnie φ razy co ćwierć obrotu, czyli φ4 ≈ 6,85 raza na pełny obrót. Pomiary prawdziwych muszli pokazują wzrost wyraźnie wolniejszy, a do tego różny u różnych okazów.
Ciąg Fibonacciego zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… Iloraz sąsiednich wyrazów zbliża się do liczby φ. Jeśli iloraz ma granicę x, to z reguły Fn+1 = Fn + Fn−1 wynika x = 1 + 1/x, czyli x² = x + 1.
Dlaczego złoty kąt? Jeśli kąt to prosty ułamek obrotu p/q, to co q-te nasiono trafia w ten sam kierunek — powstaje q prostych szprych z pustymi klinami między nimi. Złoty kąt jest „najbardziej niewymiernym” ułamkiem obrotu, więc żaden kierunek się nie powtarza i nasiona wypełniają tarczę równomiernie. Oko widzi wtedy dwie rodziny spiral, a ich liczby to kolejne przybliżenia φ: 13 i 21, 21 i 34, 34 i 55…
Uproszczenia: model Vogela to wyidealizowany opis. W prawdziwej roślinie nowe zawiązki powstają tam, gdzie jest najwięcej miejsca (sterują tym m.in. hormony roślinne), a złoty kąt wyłania się z tego procesu tylko w przybliżeniu. Spirala z ćwiartek okręgów w kwadratach przybliża prawdziwą złotą spiralę logarytmiczną.