Jak to działa?
Jedna reguła, powtarzana bez końca
Każdy punkt płaszczyzny to liczba zespolona c = x + yi, gdzie i² = −1. Zaczynamy od z0 = 0 i w kółko stosujemy tę samą regułę:
Kwadrat liczby zespolonej liczymy tak: (x + yi)² = x² − y² + 2xy·i. Geometrycznie podniesienie do kwadratu podwaja kąt punktu i podnosi do kwadratu jego odległość od zera — stąd biorą się wszystkie spirale.
Ograniczona czy uciekająca?
Jeśli orbita na zawsze zostaje blisko zera, punkt c należy do zbioru Mandelbrota (na obrazie jest czarny). Wystarczy jednak, że raz |zn| > 2, a ucieczka do nieskończoności jest pewna: dla |c| ≤ 2 mamy wtedy
Kolor punktu spoza zbioru mówi, jak szybko ucieka. Zwykła liczba kroków daje schodkowe pasy, więc używamy gładkiej (znormalizowanej) liczby iteracji, w której n to krok ucieczki:
Samopodobieństwo
Powiększając brzeg, znajdziesz spirale, koniki morskie, gałązki — i wszędzie minizbiory: małe kopie całego kształtu, każda z własnym otoczeniem. To nie są kopie idealne jak w płatku Kocha, tylko „prawie” podobne; mówimy o quasi-samopodobieństwie. Każda bańka przyklejona do dużej kardioidy ma swój okres: w kardioidzie orbita zbiega do jednego punktu, w dużym kole po lewej skacze między dwoma, a z rozgałęzienia anteny nad bańką wychodzi tyle ramion (licząc to, które prowadzi do bańki), ile wynosi jej okres.
Nieskończenie długi brzeg
Brzeg zbioru jest tak poszarpany, że jego długość jest nieskończona, a jego wymiar fraktalny (wymiar Hausdorffa) wynosi dokładnie 2 — tyle, co płaska powierzchnia, choć to tylko „krawędź” (udowodnił to Mitsuhiro Shishikura, 1998). A mimo to cały zbiór mieści się w kole o promieniu 2.
Zbiory Julii — mapa w mapie
Dla ustalonego c możemy startować nie z zera, lecz z każdego punktu z0. Punkty o ograniczonych orbitach tworzą (wypełniony) zbiór Julii. Pierre Fatou i Gaston Julia odkryli ok. 1919 r., że jest tylko jedna z dwóch możliwości: jeśli c należy do zbioru Mandelbrota, zbiór Julii jest spójny (jeden kawałek); jeśli nie — rozpada się w pył nieskończenie wielu oddzielnych punktów (zbiór Cantora). Zbiór Mandelbrota to więc mapa wszystkich zbiorów Julii naraz.
Skąd ta nazwa?
Benoît Mandelbrot (1924–2010) urodził się w Warszawie. Pracując w IBM, w 1980 r. zobaczył na komputerowych wydrukach pierwsze szczegółowe obrazy tego zbioru (bardzo zgrubny rysunek zrobili już w 1978 r. Robert Brooks i Peter Matelski). Słowo „fraktal” wymyślił sam w 1975 r., od łacińskiego fractus — „połamany”. Nazwę „zbiór Mandelbrota” nadali mu Adrien Douady i John Hubbard, którzy zbadali jego najważniejsze własności.
Uproszczenia: program uznaje punkt za należący do zbioru, jeśli przez N kroków nie uciekł (N rośnie z powiększeniem — widać je w liczniku „Iteracje” i można zwiększyć suwakiem „Szczegółowość”). Przy samym brzegu część czarnych pikseli ucieka więc naprawdę dopiero później. Ucieczkę sprawdzamy przy |z| > 1000 zamiast 2 — to nie zmienia, które punkty uciekają, a daje gładsze kolory. Obliczenia wykonuje procesor na liczbach typu double (ok. 16 cyfr znaczących), więc przy powiększeniu ok. 10¹³ obraz się rozpada. Światłocień to sztuczne oświetlenie „z góry” obliczone z pochodnej, a nie cecha samego zbioru.