Skróty: Shift + 1…6 przełącza tryby (poza piaskownicą wystarczy sama cyfra, bo w piaskownicy 1–5 wybiera masę), O otwiera tę szufladę, Esc ją zamyka i wycisza dźwięk. Każdy tryb ma własne skróty — podpowiedź jest pod jego panelem.
CELWyzwania
Każde wyzwanie sprawdza się samo. Zaliczone zostają zapamiętane w tej przeglądarce.
1Grawitacja Newtona i piaskownica
Każde dwa ciała przyciągają się siłą proporcjonalną do iloczynu mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości:
F = G·m₁·m₂r²
W piaskownicy każde ciało czuje wszystkie pozostałe (problem N ciał). Ruch liczymy metodą Verleta z bardzo małym, stałym krokiem — to metoda „symplektyczna”, dzięki której energia całego układu prawie się nie zmienia (widać to w polu „dryf ΔE”). Jednostki są umowne, a siła jest lekko „zmiękczona” na bardzo małych odległościach, żeby zderzenia nie wybuchały numerycznie.
2Prawa Keplera, vis-viva i kształty orbit
- I prawo: planety krążą po elipsach, a Słońce leży w jednym z ognisk.
- II prawo: promień od Słońca do planety zakreśla równe pola w równych czasach — bo moment pędu h = r·v⊥ jest stały. Blisko Słońca planeta pędzi, daleko zwalnia.
- III prawo: kwadrat okresu jest proporcjonalny do sześcianu półosi wielkiej:
T² = 4π²GM·a³
Prędkość w dowolnym punkcie orbity podaje równanie vis-viva (μ = GM):
v² = μ·(2r − 1a) ⇔ ε = v²2 − μr = −μ2a
Znak energii ε decyduje o kształcie toru: ε < 0 — elipsa (w szczególności okrąg), ε = 0 — parabola, ε > 0 — hiperbola. Dla działa Newtona wystrzeliwującego poziomo z odległości r:
v₁ = √(μ/r) (orbita kołowa), v₂ = √(2μ/r) = √2·v₁ (ucieczka)
Przy powierzchni Ziemi v₂ ≈ 11,19 km/s, a na wysokości 400 km v₁ ≈ 7,67 km/s.
3Manewry orbitalne
Krótki zapłon (impuls Δv) zmienia orbitę, ale statek zostaje w tym samym miejscu — więc nowa orbita zawsze przechodzi przez punkt zapłonu. Zapłon naprzód podnosi przeciwną stronę orbity, wstecz — obniża ją. Zapłony radialne obracają orbitę.
Efekt Oberta
Zmiana energii przy zapłonie zależy od tego, jak szybko już lecisz:
Δε = v·Δv + Δv²2
Ten sam Δv w perycentrum (tam jest najszybciej) daje najwięcej energii. Dlatego silnik najopłacalniej odpalać nisko i szybko.
Transfer Hohmanna
Najtańsze (dla r₂/r₁ < 11,94) przejście między orbitami kołowymi: pół elipsy stycznej do obu orbit, półoś at = (r₁ + r₂)/2.
Δv₁ = √(μ/r₁)·(√(2r₂/(r₁+r₂)) − 1), Δv₂ = √(μ/r₂)·(1 − √(2r₁/(r₁+r₂))), t = π·√(at³/μ)
Z niskiej orbity 200 km na geostacjonarną: 2,46 + 1,48 ≈ 3,93 km/s i ok. 5,3 h lotu. Z Ziemi do Jowisza: v∞ ≈ 8,8 km/s i ok. 2,73 roku.
Spotkanie na orbicie
Niższa orbita ma krótszy okres (III prawo Keplera). Żeby dogonić stację lecącą przed Tobą, hamujesz: spadasz niżej, okrążasz Ziemię szybciej i po kilku okrążeniach wracasz w górę tuż przy stacji. Przyspieszanie „w pogoni” podnosi orbitę i… zostajesz z tyłu.
4Asysta grawitacyjna
W układzie planety sonda leci po symetrycznej hiperboli: odlatuje tak samo szybko, jak przyleciała (|v∞| się nie zmienia), zmienia się tylko kierunek — o kąt skrętu δ:
e = 1 + rp·v∞²μ, sin(δ/2) = 1e, b = rp·√(1 + 2μrpv∞²)
W układzie Słońca dodajemy prędkość planety V:
vprzed = V + v∞,przed, vpo = V + v∞,po
Oba wektory v∞ mają tę samą długość, więc ich końce leżą na okręgu o środku w końcu wektora V. Obrót na tym okręgu zmienia długość sumy — i to jest cała sztuczka. Przelot za planetą obraca v∞ „do przodu” (zysk), przed planetą — „do tyłu” (strata). Tak hamowały przy Wenus MESSENGER, BepiColombo i Parker Solar Probe. Największą zmianę wektora prędkości, równą prędkości kołowej √(μ/rp), daje przelot tuż nad atmosferą przy v∞ = √(μ/rp).
Skąd energia? Pęd jest zachowany: M·ΔV = −m·Δv. Planeta zwalnia (albo przyspiesza) o ułamek m/M — dla Jowisza i 722-kilogramowej sondy to ok. 10⁻²¹ m/s.
Łączone stożkowe (patched conics)
Między planetami liczymy orbitę keplerowską wokół Słońca, a w pobliżu planety — hiperbolę wokół niej. Granicą jest sfera wpływów:
rSOI ≈ a·(m/M)2/5
Dla Jowisza to aż 48 mln km, dla Ziemi ok. 925 tys. km. W skali Układu Słonecznego przelot trwa chwilę, więc w symulatorze misji zachodzi w jednym punkcie (tor ma „załamanie”).
5Punkty Lagrange’a
Patrzymy z układu obracającego się razem z dwiema masami (1 − μ i μ, odległość 1, obrót o 1 radian na jednostkę czasu). Pojawiają się siła odśrodkowa i siła Coriolisa. Potencjał efektywny:
Ω = x² + y²2 + 1 − μr₁ + μr₂, C = 2Ω − v² = const
Stała Jacobiego C jest zachowana, więc cząstka nigdy nie wejdzie tam, gdzie 2Ω < C (strefa zakazana). W pięciu punktach siły się równoważą. L1, L2, L3 leżą na prostej łączącej ciała i są niestabilne (siodła). L4 i L5 tworzą trójkąty równoboczne z obiema masami. Wbrew intuicji są to szczyty „wzgórz” potencjału — a jednak siła Coriolisa utrzymuje tam ciała, o ile
μ < μR = (1 − √(23/27))/2 ≈ 0,038 52 (kryterium Routha)
Wokół L4/L5 cząstki krążą po orbitach „kijankowych”, a większe odchylenia dają orbity „podkowiaste”, obejmujące L3 i oba punkty. Odległość L1 i L2 od mniejszego ciała to w przybliżeniu a·(μ/3)1/3.
6Sfery wpływów, sfera Hilla i precesja
rH ≈ a·(m3M)1/3
Sfera Hilla to obszar, w którym grawitacja planety wygrywa z siłą pływową Słońca — sięga mniej więcej do punktów L1 i L2. Sfera wpływów (SOI) jest nieco mniejsza i służy do przełączania orbit w rachunku „łączonych stożkowych”.
Precesja: tylko siła dokładnie 1/r² daje zamknięte elipsy. Peryhelium Merkurego obraca się o ok. 574″ na stulecie; ok. 531″ to wpływ innych planet, a pozostałe 43″ wyjaśniła dopiero ogólna teoria względności Einsteina.
!Uproszczenia modelu
- Wszystko dzieje się w 2D, w jednej płaszczyźnie. Orbity planet są kołowe, z prawdziwymi promieniami i okresami; położenia planet biorą się ze średnich długości ekliptycznych na epokę J2000.
- Asysty liczymy metodą łączonych stożkowych z punktową sferą wpływów: przelot zmienia kierunek v∞ w jednym punkcie toru. Zakładamy, że drobne korekty toru (TCM) ustawiają zadaną wysokość przelotu — ich koszt (rzędu m/s) pomijamy.
- Misje są schematyczne: start trafia w pierwszą planetę w historycznym dniu, a każdy kolejny przelot celuje w następną planetę bez napędu, więc daty w modelu różnią się od prawdziwych o dni lub miesiące. Dla Cassini przesunęliśmy start o 12 dni (3.10 zamiast 15.10.1997), a manewr DSM o miesiąc (drugi przelot obok Wenus wypada przez to 10 dni wcześniej), żeby łańcuch przelotów zadziałał na orbitach kołowych. Przelot Voyagera 2 nad biegunem Neptuna zastępujemy przelotem w płaszczyźnie.
- Zapłony są natychmiastowe (impulsowe). Ziemia jest idealną kulą bez atmosfery (poza umowną minimalną wysokością przelotu).
- Punkty Lagrange’a: kołowy, ograniczony problem trzech ciał — cząstki nie mają masy i nie wpływają na siebie nawzajem.
- Piaskownica używa umownych jednostek i zmiękczonej grawitacji.
Czy wiesz, że…?
- Mariner 10 jako pierwsza sonda wykorzystała asystę grawitacyjną innej planety: 5 lutego 1974 r. przeleciała obok Wenus i dzięki temu dotarła do Merkurego.
- Voyager 1 25 sierpnia 2012 r. opuścił heliosferę i jako pierwszy obiekt zbudowany przez człowieka dotarł do przestrzeni międzygwiazdowej.
- Parker Solar Probe jest najszybszym obiektem zbudowanym przez ludzi: 24 grudnia 2024 r., 6,1 mln km nad powierzchnią Słońca, pędziła ok. 192 km/s (ok. 690 000 km/h). Do tego przyspieszenia doprowadziło ją siedem przelotów obok Wenus — wszystkie hamujące!
- Trafić w Słońce jest trudniej niż z niego uciec. Z orbity Ziemi ucieczka z Układu Słonecznego wymaga ok. 12,3 km/s ponad prędkość Ziemi, a „spadnięcie” na Słońce — wytracenia ok. 26,9 km/s z jej 29,8 km/s.