Dychotomia
Żeby przebiec 1 m, trzeba najpierw przebiec połowę, potem połowę reszty, potem połowę tego, co zostało… Zenon z Elei (V w. p.n.e.) pytał: jak skończyć nieskończenie wiele kroków?
- Wykonane połowienia
- 0
- Zostało drogi
- 1 m
- To mniej więcej
- —
- Ten krok trwa
- —
- Czas łącznie
- 0 s
- ½ + ¼ + ⅛ + … (n wyrazów)
- 0
Od 1 m do długości Plancka: log2(1 m / ℓP) ≈ 115,6, czyli 116 połowień.
Rozwiązanie matematyczne
Nieskończenie wiele kroków może trwać skończenie długo, bo ich czasy tworzą zbieżny szereg geometryczny:
12 + 14 + 18 + … = ½1 − ½ = 1Biegacz z prędkością v kończy po czasie t = 1 m / v. Granice i szeregi znajdziesz w „Pochodna i całka”.
A co z długością Plancka?
Jeśli przestrzeń byłaby ziarnista w skali ok. ℓP, dzielenie na pół fizycznie skończyłoby się po ok. 116 krokach. Ale paradoks jest rozwiązany już matematycznie, bez tego założenia. A to, czy przestrzeń jest ziarnista, pozostaje otwartym pytaniem — nie wiemy tego.
Horyzonty dla obserwatora
Liczone na tej stronie z równania Friedmanna: płaski ΛCDM, H0 = 67,7 km/s/Mpc, Ωm = 0,31, ΩΛ ≈ 0,69, Ωr = 9·10−5.
Dlaczego 46 mld lat świetlnych, skoro 13,8 mld lat?
Światło z najdalszych obszarów leciało do nas ok. 13,8 mld lat, ale w tym czasie przestrzeń się rozciągała. Miejsce, z którego wyszło, jest dziś ok. 46 mld lat świetlnych od nas — to horyzont cząstek, promień obserwowalnego Wszechświata.
Sfera Hubble'a (c/H0) to odległość, na której galaktyki oddalają się z prędkością światła. Widzimy galaktyki spoza niej — to nie jest horyzont.
Horyzont zdarzeń
Światło wysłane teraz przez galaktyki dalsze niż ok. 16–17 mld lat świetlnych (dziś) nigdy do nas nie dotrze, bo ciemna energia przyspiesza rozszerzanie. Ich dawne światło wciąż jednak widzimy.
CMB — mikrofalowe promieniowanie tła — wyszło ok. 380 tys. lat po Wielkim Wybuchu (z ≈ 1100) z miejsc, które są dziś ok. 45–46 mld lat świetlnych od nas.
Mniejszy Wszechświat w przyszłości
Horyzont cząstek wciąż rośnie, ale coraz wolniej, do skończonej granicy (w tym modelu ok. 62,8 mld lat świetlnych). Za to zawartość nieba maleje: galaktyki spoza Grupy Lokalnej przekraczają horyzont zdarzeń, ich światło jest wykładniczo przesuwane ku czerwieni i gaśnie.
Po ok. 100–200 mld lat obserwator w Mlekomedzie (połączonej Drodze Mlecznej i Andromedzie) zobaczy w praktyce tylko własną galaktykę, a CMB rozciągnie się do fal niewykrywalnych — „powrót statycznego Wszechświata” (L. Krauss i R. Scherrer, 2007).
Zderzenie z Andromedą zwykle szacuje się na ok. 4–5 mld lat, ale badanie z 2025 r. (Sawala i in.) daje tylko ok. 50% szans na połączenie w ciągu 10 mld lat. W modelu tej strony przyjmujemy, że do niego dojdzie.
Budżet Wszechświata (Planck 2018)
Napięcie Hubble'a: pomiary z CMB dają ok. 67 km/s/Mpc, a z cefeid i supernowych ok. 73 km/s/Mpc — przyczyna różnicy nie jest znana. DESI (2024–2025) daje wstępne wskazówki, że ciemna energia może się zmieniać w czasie.
Co rozwiązuje inflacja?
Problem horyzontu: CMB ma tę samą temperaturę z dokładnością do 1 części na 100 000, choć bez inflacji przeciwległe obszary nieba nigdy nie mogły się „skontaktować”. Płaskość: inflacja rozprostowuje przestrzeń. Monopole: rozrzedza hipotetyczne cząstki z wczesnych epok.
Kwantowe fluktuacje rozciągnięte do kosmicznych rozmiarów stały się zarodkami galaktyk. Obok: losowe pole — schematyczne, bez pików akustycznych prawdziwego CMB.
Na ile to pewne?
Inflacja to wiodący model: przewiduje m.in. widmo fluktuacji prawie niezależne od skali, zgodne z pomiarem ns ≈ 0,965. Nie jest jednak udowodniona: pierwotnych fal grawitacyjnych (polaryzacji typu B) jeszcze nie wykryto — sygnał BICEP2 z 2014 r. okazał się pyłem w Galaktyce. Istnieją też modele alternatywne.
Czasy i czynnik wzrostu (≥ e60 ≈ 1026) zależą od wersji modelu.
Porównaj
Wyzwania
0 / 7Czy wiesz, że…?
Gdyby proton miał 1 cm, atom wodoru miałby ok. 600 m średnicy. Prawie cały atom to pusta przestrzeń.
Średnia geometryczna długości Plancka i średnicy obserwowalnego Wszechświata to ok. 0,1 mm — mniej więcej grubość włosa. W skali logarytmicznej ludzie są niedaleko środka tej drabiny.
Najdalsze widziane galaktyki (JWST, np. MoM-z14) świeciły ok. 300 mln lat po Wielkim Wybuchu, a ich światło zostało rozciągnięte ok. 15 razy.
Jak to działa?
Skala logarytmiczna
Każdy krok suwaka o 1 to mnożenie przez 10. Położenie obiektu to wykładnik potęgi dziesięciu:
n = log10d1d2Jeśli d1/d2 = k, to w rzędzie zmieści się k mniejszych obiektów, a objętościowo ok. k3 (dla podobnych kształtów, bez przerw między nimi).
Jednostki Plancka
Zbudowane tylko ze stałych ħ, G i c:
ℓP = √ ħG/c3 ≈ 1,616·10−35 mtP = √(ħG/c5) ≈ 5,39·10−44 s, mP = √(ħc/G) ≈ 2,18·10−8 kg, TP = mPc2/kB ≈ 1,42·1032 K.
To skala, na której efekty grawitacji kwantowej stają się ważne i obecne teorie przestają działać. Argument heurystyczny: żeby zbadać tak małą odległość, trzeba skupić tyle energii, że powstałaby czarna dziura. Nie udowodniono, że to „piksel przestrzeni” ani najmniejsza możliwa długość; minimalną długość sugerują tylko niektóre hipotezy (np. pętlowa grawitacja kwantowa).
Równanie Friedmanna
H(a) = H0√ Ωra−4 + Ωma−3 + ΩΛCzynnik skali a mówi, ile razy rozciągnęła się przestrzeń (dziś a = 1). Strona całkuje numerycznie t = ∫ da/(aH) oraz czas konforemny η = ∫ c da/(a2H). Horyzont cząstek to η(dziś), horyzont zdarzeń to η(∞) − η(dziś). Przyspieszanie zaczyna się, gdy Ωma−3/2 = ΩΛ.
Przedrostki SI
| a | atto | 10−18 | k | kilo | 103 |
| f | femto | 10−15 | M | mega | 106 |
| p | piko | 10−12 | G | giga | 109 |
| n | nano | 10−9 | T | tera | 1012 |
| µ | mikro | 10−6 | P | peta | 1015 |
| m | mili | 10−3 | E | eksa | 1018 |
1 rok świetlny = c · 1 rok ≈ 9,461·1015 m; 1 j.a. = 149 597 870 700 m.
Uproszczenia
Rozmiary są typowe i zaokrąglone, a kształty — stylizowane. Obiekty stoją obok siebie jak w gablocie, nie w prawdziwych miejscach. Kwark i elektron mają tylko górną granicę rozmiaru. Heliosfera nie jest kulą. Galaktyki w Grupie Lokalnej i Laniakei rozmieszczono schematycznie. Model ΛCDM pomija neutrina z masą i ewolucję ciemnej energii; liczba widocznych galaktyk w przyszłości to model poglądowy (próg jasności teleskopu klasy JWST), a nie dokładna prognoza.